УДК 536.2:519.6 
 
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 
О НАГРЕВАНИИ СТЕРЖНЯ 
 
Канд. физ.-мат. наук, доц. ЛАСЫЙ П. Г.,  
докт. физ.-мат. наук, проф. МЕЛЕШКО И. Н. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
Рассмотрим задачу о распределении температуры в тонком, однород-
ном, теплоизолированном стержне конечной длины, внутри которого на-
ходятся постоянно действующие источники теплоизлучения, а начальная и 
граничная температуры равны нулю. 
Математической моделью этой задачи является неоднородное одно-
мерное уравнение теплопроводности 
 
2 ( , ),t xxT a T q x t∂ = ∂ +                       (1) 
 
где ( , )T T x t=  – температура стержня длиной 0l >  в точке х∈ [0, l] в мо-
мент времени 0;t ≥ а2 – физическая постоянная (коэффициент температу-
ропроводности), характеризующая теплопроводность материала, из кото-
рого изготовлен стержень; ),( txq −мощность источника теплоизлучения  
с точностью до постоянного множителя. 
Функцию ),( txq  будем предполагать кусочно-монотонной по аргу-
менту t  на любом конечном отрезке равномерно по всем х∈ [0, l] и удов-
летворяющей условию Липшица, т. е. существует константа 0>L  такая, 
что для всех х1, х2∈ [0, l] и 0, 21 ≥tt  выполняется неравенство 
 
( ).),(),( 21212211 ttxxLtxqtxq −+−≤−  
 
В начальный момент времени и на концах стержня температура равна 
нулю, т. е. 
 
[ ]( , 0) 0, 0,T x x l= ∈                                (2) 
и 
(0, ) ( , ) 0, 0.T t T l t t= = ≥                        (3) 
 
Благодаря условию Липшица решение смешанной задачи (2), (3) для 
уравнения (1) может быть представлено в виде равномерно сходящегося на 
отрезке [0, l] и любом конечном промежутке временной оси ряда [1, с. 552] 
 
,sin)()exp(),(
1 0
2∑ ∫
∞
=
ω





−α−=
k
t
k xkdsstqsktxT      (4) 
где 2
0
2, ( ) ; ( ) ( , )sin ;
l
ka q t q y t k y dy k Nl l
π
ω = α = ω = ω ∈∫  – коэффициенты 
разложения в ряд Фурье по синусам функции ),( txq  на отрезке [0, l]. 
74 
Приближенное вычисление температуры стержня по формуле (4) связа-
но с большими трудностями, так как приходится вычислять коэффициенты 
ряда Фурье для функции ),( txq , да и общая оценка допускаемой погреш-
ности весьма затруднительна. В настоящей работе предлагается другой 
способ решения этой задачи, основанный на представлении температуры  
с помощью специальной функции, являющейся быстро сходящимся сте-
пенным рядом с экспоненциальными по времени коэффициентами. Речь 
идет о пси-функции [2] 
 
,)exp(),,(
1
2∑
∞
=
−λ−=λΨ
k
kr
r zktkzt                  (5) 
 
зависящей от действительных переменных 0,0, ≥>λ tr  и комплексного 
аргумента .z  
На единичной окружности [ ]exp( ), 0, 2 :z i= ϕ ϕ∈ π  
 
2
1
2
1
Re ( , , exp( )) exp( ) cos ;
Im ( , , exp( )) exp( ) sin .
r
r
k
r
r
k
t i k t k k
t i k t k k
∞
−
=
∞
−
=
Ψ λ ϕ = −λ ϕ
Ψ λ ϕ = −λ ϕ
∑
∑
              (6) 
 
Найдем представление решения (4) поставленной выше смешанной за-
дачи через пси-функцию (5). В самом деле: 
 
2
1 0 0
0 0
2 2
1 1
2( , ) exp( ) ( , )sin sin
1 ( , )
exp( )cos ( ) exp( )cos ( ) ,
t l
k
l t
k k
T x t k s q y t s k y dy ds k x
l
dy q y t s
l
k s k y x k s k y x ds
∞
=
∞ ∞
= =
  
= −α − ω ω =     
= − ×
 
× −α ω − − −α ω + 
 
∑ ∫ ∫
∫ ∫
∑ ∑
 
 
откуда ввиду первой из формул (6) 
 
0 0
1( , ) ( , )Re
l t
T x t dy q y t s
l
= − ×∫ ∫  
( ) ( )( )0 0, , exp( ( )) , , exp( ( )) .s i y x s i y x ds× Ψ α ω − − Ψ α ω +     (7) 
 
Займемся приближенным вычислением температуры (7). Зафиксируем  
t> 0 и разобьем прямоугольник [0, l]×[0, t] прямыми: 
 
1
1
1
1 ,,0,;,,0, n
tnnntt
m
lhmmmhxx nm =τ=τ======  
 
на 11nm прямоугольников и заменим под знаком интеграла в правой части 
формулы (7) в каждом из прямоугольников [ ] [ ] 111 ,,1,,, mmttxx nnmm =× −−
75 
1,1 nn = функцию ),( styq −  ее значением в средней точке прямоугольни-
ка. В результате, использовав формулы (6), после несложного интегриро-
вания получим: 
 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
0 0
1 1
1 1
3 3
1( , ) ,
2 2
Re , , exp( ( )) , , exp( ( ))
1 ,
2 2
Im , , exp( ( )) , , exp( ( )) .
m n
m n
m
n
n
m
x tm n
m n
m n x t
m n
m n
m n
xt
t
hT x t dy q x t t
l
s i y x s i y x ds
hq x t t
s i y x s i y x
− −
−
−
− −
= =
− −
= =
τ ≈ + − − × 
 
× Ψ α ω − − Ψ α ω + =
τ = + − − × απ  
× Ψ α ω + − Ψ α ω −
∑∑ ∫ ∫
∑∑
 
 
Таким образом, мы нашли следующую формулу для приближенного 
вычисления решения смешанной задачи (1)–(3) 
 
1 1
1 1
1 1
1 1
( , ) ( , )
1 ,
2 2
m n
m n
m n
m n
T x t T x t
hq x t t− −
= =
≈ =
τ = + − − × απ  
∑∑
 
( ) ( )( )
1
1
3 3Im , , exp( ( )) , , exp( ( )) .
m
n
n
m
xt
t
s i y x s i y x
−
−
× Ψ α ω + − Ψ α ω −  (8) 
 
Прежде чем вычислить погрешность формулы (8), найдем одну полез-
ную оценку для пси-функции ( ))exp(,,2 xit ωαΨ . 
Зафиксируем 




∈γ
2
1,0  и обозначим 
 
2 2
2 2 2
1 exp( ( )) exp( )cos( , ) ; ( , ) , .k k
k t s k s k xa t s b x s k N
k kγ − γ
− −α − −α ω
= = ∈  
 
Тогда 
( )
2 2
2 2
1
exp( ) exp( )Re , , exp( ) cos
t
s
k
k t k sz i x k x
k
∞
=
−α − −α
Ψ α ω = ω =∑  
1
( , ) ( , )k k
k
a t s b x s
∞
=
= −∑   (9) 
 
и при всех Rxst ∈≥≥ ,0  ряд (9) сходится равномерно и имеет место не-
равенство 
( ) .)(
5
2
21
)1(4)exp(,,Re 2
γ
γ
−





γ
α
γ−
γ−
≤ωαΨ stxiz t
s
        (10) 
 
Для доказательства рассмотрим неотрицательную функцию 
 
.0,,)exp(1)( 2
2
≥∈
α−−
=ϕ γ yNkk
ykyk  
76 
Очевидно, γ≤ϕ 2
1)(
k
yk  и, значит: 
 
0)(lim =ϕ
∞→
ykk  равномерно по .0≥y         (11) 
 
Далее, обозначив ,2 vyk =α  получим: 
 
1 exp( )( ) ( ) ; ( ) .k
vy v y v
v
γ γ
γ
− −
ϕ = α χ χ =       (12) 
 
Производная функции )(vχ  равна 1
exp( ) ,
exp
v vv
v vγ+
+ γ − γ′χ =  и поскольку  
,0
2
5
>




 γχ′  а ,0)1(2 <





γ
γ−
χ′  то единственная точка максимума 0v  дан-
ной функции принадлежит интервалу
5 2(1 ), .
2
 γ − γ
 γ 
 Тогда 2( ) ,
5
v
γ
 
χ <  γ 
 
v≥ 0 и, как следует из (12): 
 
.0,,
5
2)( ≥∈





γ
α
≤ϕ γ
γ
yNkyyk  
 
Так как ,),(),( Nkststa kk ∈−ϕ=  то 
 
.,)(
5
2),( Nkststak ∈−





γ
α
≤ γ
γ
              (13) 
 
Из приведенного выше исследования функции )(vχ  и (12) следует, что 
при фиксированных t  и s  последовательность Nkstak ∈),,(  возрастает, 
если 2 0( ) ,k t s vα − ≤  и убывает, если .)( 0
2 vstk >−α  Благодаря же (11) эта 
последовательность равномерно бесконечно мала при  всех .0≥≥ st  
Поскольку 
 
,,1cos)exp(),( 2222
2
Nk
kk
xksksxbk ∈≤
ωα−
= γ−γ−  
 
то при любом натуральном n  и 0, ≥∈ sRx  
 
.
21
)1(211),(),(
1
22
1
22
1
∫∑∑
∞
γ−
∞
=
γ−
= γ−
γ−
=+≤≤=
x
dx
k
sxbsxB
k
n
k
kn    (14) 
 
Учитывая (14) и свойства последовательности ,),,( Nkstak ∈  установ-
ленные выше, мы можем утверждать, что ряд (9) сходится равномерно при 
0≥≥ st  и Rx ∈  по признаку Дирихле [3, с. 432]. 
77 
Для доказательства оценки (10) применим преобразование Абеля  
[3, с. 307] к частичной сумме ряда (9) 
 
( ) .),(),(),(),(),(),(),(
1
1
1
1
∑∑
−
=
+
=
−+=
n
k
kkknn
n
k
kk sxBstastasxBstasxbsta  
 
Отсюда, использовав (14), получаем 
 
.),(),(),(
21
)1(2),(),(
1
1
1
1






−+
γ−
γ−
≤ ∑∑
−
=
+
=
n
k
kkn
n
k
kk stastastasxbsta  
 
Обозначим через 0k  максимальное из натуральных чисел k, для кото-
рых .)( 0
2 vstk ≤−α  Тогда, раскрыв модули в предыдущем неравенстве, 
можем переписать его в виде 
 
( )0 0 0 0
1
1 1 1
( , ) ( , )
2(1 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
1 2
n
k k
k
k k k k
a t s b x s
a t s a t s a t s a t s a t s
=
+ +
≤
− γ
≤ + + − −
− γ
∑
 
 
откуда 
{ }),(),,(max
21
)1(4),(),( 1
1
00
stastasxbsta kk
n
k
kk +
= γ−
γ−
≤∑  
 
и, следовательно, ввиду (13) ,)(
5
2
21
)1(4),(),(
1
γ
γ
=
−





γ
α
γ−
γ−
≤∑ stsxbsta
n
k
kk  
что при ∞→n и доказывает (10). 
Займемся теперь оценкой погрешности формулы (8). Эта погрешность 
представляется в виде 
 
( )∑∑
= =
−
α
=−
1 1
11
1 1
)2()1(1),(),(
m
m
n
n
mnmnnm IIl
txTtxT , 
где 
 
( )
1 1
(1)
1 1
0
( , ) ,
2 2
Re , , exp( ( )) ;
m n
m n
x t
mn m n
x t
hI dy q y t s q x t t
s i y x ds
− −
− −
 τ = α − − + − − ×  
  
× Ψ α ω −
∫ ∫
 
 
( )
1 1
(2)
1 1
0
( , ) ,
2 2
Re , , exp( ( )) .
m n
m n
x t
mn m n
x t
hI dy q y t s q x t t
s i y x ds
− −
− −
 τ = α − − + − − ×  
  
× Ψ α ω +
∫ ∫
 
 
Для интеграла )1(mnI  используем сначала вторую теорему о среднем зна-
чении [3, с. 119] по аргументу s, разбив, если потребуется, отрезок ],[ 1 nn tt −  
78 
на части, внутри каждой из которых функция ),( styq −  монотонна. Для 
простоты предположим, что эта функция монотонна на всем отрезке
].,[ 1 nn tt −  В результате после интегрирования мы получим: 
 
( )
( )
1
1
(1)
1 1 1
0
1 1 0
1 1 1
( , ) ,
2 2
Re , , exp( ( ))
( , ) , Re , , exp( ( ))
2 2
( , ) ,
2 2
m
m
n
n
n
n
x
mn n m n
x
s
t
t
n m n
s
n m n
hI q y t t q x t t
s i y x ds
hq y t t q x t t s i y x ds dy
hq y t t q x t t
−
−
− − −
− −
− − −
 τ = α − − + − − ×  
  
× Ψ α ω − +
 τ + − − + − − Ψ α ω − =      
τ= − − − + − −
∫
∫
∫
( )
( )
1
1
2
1 1 2
Re , , exp( ( ))
( , ) , Re , , exp( ( )) ,
2 2
m
n
n
m
n
n
x
s
t
x
t
n m n s
s i y x
hq y t t q x t t s i y x dy
−
−
− −
  Ψ α ω − +  
  
 τ + − − + − − Ψ α ω −   
   
∫
 
 
где [ ].,1 nnn tts −∈  
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении, най-
дем: 
 
( )
( ) [ ]
1
(1)
1 1 1
2
1 1
2 1
( , ) ,
2 2
Re , , exp( ( ))
( , ) ,
2 2
Re , , exp( ( )) , , .
n
n
n
n
mn m n m n
s
m t
m n m n
t
m m m m
s
hI q y t t q x t t
s i y x
hq y t t q x t t
s i y x h y x x
−
− − −
− −
−
 τ = − − − + − − ×  
  
× Ψ α ω − +
 τ + − − + − − ×  
  

× Ψ α ω − ∈

 
 
Отсюда, учитывая липшицевость функции ),( txq  и неравенство (10), 
получим: 
 
( )
( )
( ) .)(
5
2
21
)1(4)()(
5
2
21
)1(4
22
))(exp(,,Re
2
,
2
),(
))(exp(,,Re
2
,
2
),(
1
211
2111
)1(
1
γ
γ
γγ
−
γ
−−
−−−
ττ+





γ
α
γ−
γ−
≤−+−





γ
α
γ−
γ−





 τ+≤
≤−ωαΨ




 τ−−+−−+
+−ωαΨ




 τ−−+−−≤
−
hhLhsttshL
hxyistthxqttyq
xyistthxqttyqI
nnnn
t
smnmnm
s
tmnmnmmn
n
n
n
n
 
Совершенно аналогично: 
79 
γ
γ
ττ+





γ
α
γ−
γ−
≤ hhLImn )(5
2
21
)1(4)2(  
 
и, следовательно: 
 
( ) ( )
.)(
5
2
)21(
)1(8)(
5
2
21
)1(81
11),(),(
1
1
1 1
1 1
)2()1(
1 1
)2()1(
1 1
1 11 1
11
−γ
γ
γ−
= =
γ
γ
= == =
ττ+





γγ−α
γ−
=ττ+





γ
α
γ−
γ−
α
≤
≤+
α
≤−
α
=−
∑∑
∑∑∑∑
hLthhL
l
II
l
II
l
txTtxT
m
m
n
n
m
m
n
n
mnmn
m
m
n
n
mnmnnm
 
Зафиксируем произвольное ).1,0(∈β Тогда при β−
γ−
τ≤ 1
1
h  из предыду-
щего неравенства вытекает равномерная по [ ]lx ,0∈  оценка погрешности 
приближенного решения (8) 
 
).(
5
2
)21(
)1(8),(),( 111
γβ
γ
γ− τ+





γγ−α
γ−
≤− hLttxTtxT nm     (15) 
 
Все проведенные выше исследования позволяют сформулировать сле-
дующее утверждение. 
Теорема. При сделанных предположениях относительно функции 
),( txq  точное решение смешанной задачи (2), (3) для неоднородного 
уравнения теплопроводности (1) выражается через пси-функцию (5) по 
формуле (7), а приближенное – по формуле (8). Допускаемая при этом по-
грешность вычисления для произвольных фиксированных t> 0, β∈(0, 1), 





∈γ
2
1,0,  равномерно по [ ]lx ,0∈  не превышает величины 
),(
5
2
)21(
)1(8
1
γβ
γ
γ− τ+





γγ−α
γ− hLt  
 
где 
1
1
1 1
; ;l th h
m n
−γ
−β= τ = ≤ τ  и, таким образом, имеет порядок ( ).γβ τ+hO  
Пример. Рассмотрим смешанную задачу (2), (3) для уравнения тепло-
проводности 
 
[ ] .0,1,0),2cos()1(2)2sin()2( 22 ≥∈−−+−+∂=∂ txxtxtxttxxTT xxt  
 
Точным решением этой задачи является функция 
 
).(sin)1(),( 2 xtxtxT −=  
 
Тестирование приближенного решения этой задачи по формуле (8), 
проведенное в среде компьютерной алгебры Mathematica, показало,  
что уже при 150,50 11 == nm во всех внутренних узлах сетки xk = 0,1k, 
80 
1 0,0,;1 0,0 === jjtk j  точное решение отличается от приближенного 
по абсолютной величине меньше, чем на 10–2. 
 
В Ы В О Д 
 
С помощью специальной пси-функции найдено точное и приближенное 
представления решения однородной смешанной задачи для неоднородного 
одномерного уравнения теплопроводности. Приведена также оценка по-
грешности приближенного решения. 
 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е  уравнения математической физики / Н. С. Кошляков 
[и др.]. – М.: ГИФМЛ, 1962. – 767 с. 
2. Л а с ы й, П. Г.  Приближенное представление решения одной смешанной задачи тео-
рии теплопроводности с помощью специальных функций / П. Г. Ласый, И. Н. Мелеш- 
ко //Энергетика… (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). – 2009. − № 1. − 
С. 53−58. 
3. Ф и х т е н г о л ь ц,Г. М.Курс дифференциального и интегрального исчисления /  
Г. М. Фихтенгольц. − М.: ГИФМЛ, 1962. −Т. 2. –807 с. 
 
Представлена кафедрой 
высшей математики № 2                                                                          Поступила 21.11.2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 621.57+620.97 
 
ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ 
ВЕРТИКАЛЬНЫХ ГРУНТОВЫХ ТЕПЛООБМЕННИКОВ 
 
Асп. ФИЛАТОВ С. О. 
 
Белорусский государственный технологический университет 
 
В последнее время за рубежом все большее развитие получает направ-
ление в нетрадиционной энергетике, основанное на утилизации низкопо-
тенциальной теплоты грунта [1–4]. В большинстве случаев такие системы 
включают в себя один или несколько вертикальных грунтовых теплооб- 
менников (ВГТО), работающих совместно с тепловым насосом (ТН).  
При этом ВГТО соединен с испарителем ТН. В качестве ВГТО могут быть 
использованы коаксиальные (рис. 1а), U-образные ВГТО с одной (рис. 1б) 
или несколькими трубами (рис. 1в, г, е), а также ВГТО с каналами более 
сложной формы [5] (рис. 1д). Кроме того, известен частный случай ВГТО – 
энергосваи, представляющие собой строительные сваи с трубами теплооб- 
менника, по которым циркулирует промежуточный теплоноситель (рис. 1е). 
81