Об одной вариационной задаче, приводящей к бигармоническому уравнению, и о приближенном решении основной краевой задачи для этого уравнения

Abstract

Многие важные вопросы теории упругости приводят к вариационной задаче, связанной с бигармоническим уравнением, и к соответствующим краевым задачам для такого уравнения. В статье рассматривается основная краевая задача для бигармонического уравнения в единичном круге. К этой задаче приводит, например, исследование прогибов пластины в случае кинематических граничных условий, когда перемещения и их производные зависят от круговой координаты. Точное решение рассматриваемой краевой задачи известно. Искомая бигармоническая функция может быть представлена в единичном круге в явном виде посредством интеграла Пуассона. Приближенное решение данной задачи находится иногда с помощью разностных схем. Для этого на круг набрасывается сетка с ячейками малого диаметра и в каждом узле сетки все частные производные задачи заменяются их конечно-разностными отношениями. В результате возникает система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных приближенных значений бигармонической функции, из которой они однозначно находятся. Недостатком такого метода является то, что указанная выше система не всегда просто решается. Кроме того, мы получаем решение не в любой точке круга, а только в узлах сетки. Для реальных вычислений и численного анализа решений прикладных задач авторами на основе известного точного решения краевой задачи сконструировано его единое аналитическое приближенное представление с помощью логарифмов. Приближенная формула имеет простой вид и легко реализуется численно. Равномерные оценки погрешности позволяют проводить вычисления с заданной точностью. Все коэффициенты квадратурной формулы для интеграла Пуассона неотрицательны, что значительно упрощает исследование приближенного решения. Проведен анализ квадратурной суммы на устойчивость. Рассмотрен пример решения краевой задачи.