Аппроксимация экспертных оценок сингулярными вейвлетами

Abstract

В работе рассмотрен алгоритм аппроксимации сингулярными вейвлетами, который можно использовать для компьютерного анализа сложных математических моделей. Особенностью алгоритма является объединение метода вейвлет-анализа сигналов и ядерных оценок типа Парзена-Розенблатта (Надарая-Ватсона). Во введении рассмотрены классические вейвлет-функции и ядерные оценки. Отмечено, что в классической теории вейвлетов нельзя использовать ядерные функции, а базисные вейвлеты нельзя выбирать с целью получения ядерных оценок регрессии. Сформулировано, что целью исследования является преодоление ограничения по выбору базиса аппроксимации и объединение методов теории ядерных оценок с теорией вейвлетов, изучение общих свойств аппроксимации сингулярными вейвлетами и развитие алгоритмов аппроксимации функций. В основной части работы доказано, что для сингулярных вейвлетов имеет место аналог равенства Парсеваля. Этот результат позволяет использовать в качестве базисного вейвлета ядерные функции. В основной части введено понятие последовательности сингулярных преобразований, которую удобно применять при аппроксимации функции сингулярными вейвлетами. Последовательность сингулярных преобразований дает возможность представить непрерывную функцию в виде суммы ряда из сингулярных вейвлетов («маленьких волн»). Используя различное число членов ряда из сингулярных вейвлетов, можно получить различную степень сглаживания функции или при необходимости интерполировать экспериментальные данные. Доказана сходимость последовательности вейвлет-преобразований. Приведен пример применения разложения в ряд по сингулярным вейвлетам для дискретного случая. В заключении отмечено, что в работе получено теоретическое обоснование и численные результаты, которые подтверждают возможность применения аппроксимации сингулярными вейвлетами к широкому кругу прикладных задач.