Аппроксимация сингулярными вейвлетами

Abstract

Задача аппроксимации является актуальной практически для любого инженерного исследования. В этой связи представляют интерес универсальные методы аппроксимации. В работе развивается метод непараметрической аппроксимации – метод сингулярных вейвлетов. Метод включает в себя эффективный численный алгоритм, основанный на суммировании рекуррентной последовательности функций. Универсальность алгоритма означает, что его можно применять для приближения одномерных и многомерных функций, в системах поддержки принятия решений, при обработке стохастической информации, распознавании образов, решении краевых задач. Во введении поясняется идея метода сингулярных вейвлетов – объединить теорию вейвлетов с ядерными оценками регрессии типа Надарая-Ватсона. Обычно ядерные оценки рассматриваются как пример непараметрического оценивания. Однако один параметр – параметр размытости, все же присутствует в традиционном алгоритме ядерной регрессии. Выбор оптимального значения этого параметра является сложной математической задачей и этому вопросу посвящены многочисленные работы. При аппроксимации по методу сингулярных вейвлетов происходит суммирование ядерных оценок типа Надарая-Ватсона по параметру размытости, что в значительной степени снимает проблему оптимального выбора этого параметра. В основной части работы формулируются теоремы, которые определяют свойства регуляризованного вейвлет-преобразования. Впервые получены достаточные условия равномерной сходимости вейвлет ряда. Для иллюстрации эффективности численного алгоритма аппроксимации рассмотрен пример квази-интерполяции функции Рунге вейвлетами с равномерным распределением узлов интерполяции.