Свойства G-орбит двойных ошибок и их инвариантов в БЧХ-кодах

Abstract

Цель работы – дальнейшее расширение сферы применения автоморфизмов кодов в методах и алгоритмах коррекции ошибок этими кодами. Эффективность данного подхода продемонстрировала разработанная на рубеже ХХ и ХХI веков белорусской школой помехоустойчивого кодирования теория норм синдромов (ТНС). В основе теории лежит группа Г циклических сдвигов координат векторов. Под ее действием векторы-ошибок разбиваются на непересекающиеся Г-орбиты с четко очерченным спектром синдромов. Это позволило ввести в семействе БЧХ-кодов нормы синдромов, инвариантные относительно действия группы Г. Нормы синдромов явились однозначными характеристиками Г-орбит ошибок любой корректируемой совокупности, а потому стали основой перестановочных норменных методов коррекции ошибок. Перебирая не ошибки, а Г-орбиты ошибок, методы эти действуют на порядок быстрее классических синдромным методов коррекции ошибок, избавлены от громоздкой процедуры решения алгебраических уравнений в полях Галуа, легко реализуемы на ПЛИС. В работе развивается подобная теория для группы G автоморфизмов БЧХ-кодов, получаемой добавлением к группе Г циклотомической подстановки. Проводится детальное исследование структуры G-орбит ошибок как объединения своих Г-орбит векторов-ошибок; взаимно-однозначного отражения этого строения на структуре спектра норм составляющих Г-орбит. Нормы эти, будучи связанными между собой автоморфизмом Фробениуса в поле Галуа – поле задания БЧХ-кода, составляют полный набор корней единственного неприводимого полинома. Он и является полиномиальным инвариантом своей G-орбиты. Основное внимание в работе сосредоточено на описании свойств и специфики G-орбит двойных ошибок и их полиномиальных инвариантов.